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2012年全国研究生入学考试数学三答案解析
  作者:   时间: 2012-1-9   来源:   点击:2419  

2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)曲线 渐近线的条数为()
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
【答案】:
【解析】: ,所以 为垂直的
         ,所以 为水平的,没有斜渐近线 故两条选
(2)设函数 ,其中 为正整数,则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】:
【解析】:
   所以 
(3)设函数 连续,则二次积分 =(    )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】:(B)
【解析】:由 解得 的下界为 ,由 解得 的上界为 .故排除答案(C)(D). 将极坐标系下的二重积分化为 型区域的二重积分得到被积函数为 ,故选(B).
(4)已知级数 绝对收敛, 条件收敛,则 范围为(    )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】:(D)
【解析】:考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的 级数的收敛性结论.  绝对收敛可知 ; 条件收敛可知 ,故答案为(D)
(5)设 其中 为任意常数,则下列向量组线性相关的是(    )
(A)                       (B)
(C)                       (D)
【答案】:(C)
【解析】:由于 ,可知 线性相关。故选(C)
(6)设 为3阶矩阵, 为3阶可逆矩阵,且 , , 则 (    )
(A)               (B)
(C)               (D)
【答案】:(B)
【解析】: ,则 ,

故选(B)。
(7)设随机变量 与 相互独立,且都服从区间 上的均匀分布,则 (    )
(A)      (B)      (C)    (D)
【答案】:(D)
【解析】:由题意得, 
 ,其中 表示单位圆在第一象限的部分,被积函数是 ,故根据二重积分的几何意义,知 ,故选(D).
(8)设 为来自总体 的简单随机样本,则统计量 的分布(    )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】:(B)
【解析】:从形式上,该统计量只能服从 分布。故选 。
具体证明如下: ,由正态分布的性质可知, 与 均服从标准正态分布且相互独立,可知 。
二、填空题:914小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) ________。
【答案】:
【解析】:
 =
=
=
=
=
所以 =
(10)设函数 ,求 ________。
【答案】:
【解析】:
由 的表达式可知 ,可知
(11) 函数 满足 ,则
【答案】:
【解析】:由题意可知分子应为分母的高阶无穷小,即 ,
所以 , ,故
(12)  由曲线 和直线 及 在第一象限中所围图形的面积为?
【答案】:
【解析】:被积函数为1的二重积分来求,所以
 
(13)设 为3阶矩阵, , 为 的伴随矩阵,若交换 的第一行与第二行得到矩阵 ,则 ________。
【答案】:-27
【解析】:由于 ,故 ,
所以, .
(14)设 是随机事件, 互不相容, , ,则 ________。
【答案】:
【解析】:由条件概率的定义, ,
其中 ,
 ,由于 互不相容,即 , ,又
 ,得 ,代入得 ,故 .
三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
计算
【解析】:
 
(16)(本题满分10分)
计算二重积分 ,其中D为由曲线 与 所围区域。
【解析】:由题意知,区域 ,如图所示所以
 
 
(17)(本题满分10分)某企业为生产甲、乙两种型号的产品,投入的固定成本为10000(万元),设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和(y件),且固定两种产品的边际成本分别为 (万元/件)与 (万元/件)。
1)求生产甲乙两种产品的总成本函数 (万元)
2)当总产量为50件时,甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小?求最小的成本。
3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本,并解释其经济意义。
【解析】:1)设成本函数为 ,由题意有: ,
对x积分得, ,
再对y求导有, ,
再对y积分有,
所以,
又 ,故 ,所以
2)若 ,则 ,代入到成本函数中,有
 
所以,令 ,得 ,这时总成本最小
3)总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为 ,表示在要求总产量为50件时,在甲产品为24件,这时要改变一个单位的产量,成本会发生32万元的改变。

(18)(本题满分10分)
证明:
【解析】:令 ,可得
 
当 时,有 , ,所以 ,
故 ,而 ,即得
所以 。
当 ,有 , ,所以 ,
故 ,即得
可知,
(19)(本题满分10分)已知函数 满足方程 及
1)求表达式
2)求曲线的拐点
【解析】:
1)特征方程为 ,特征根为 ,齐次微分方程 的通解为 .再由 得 ,可知 。

2)曲线方程为 ,则 ,
令 得 。为了说明 是 唯一的解,我们来讨论 在 和 时的符号。
当 时, ,可知 ;当 时, ,可知 。可知 是 唯一的解。
同时,由上述讨论可知曲线 在 左右两边的凹凸性相反,可知 点是曲线 唯一的拐点。
(20)(本题满分10分)
设 ,
(Ⅰ)求
(Ⅱ)已知线性方程组 有无穷多解,求 ,并求 的通解。
【解析】:(Ⅰ)
(Ⅱ)
可知当要使得原线性方程组有无穷多解,则有 及 ,可知 。
此时,原线性方程组增广矩阵为 ,进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为 ,非齐次方程的特解为 ,故其通解为
线性方程组 存在2个不同的解,有 .
即:  ,得 或-1.
当 时,  ,显然不符,故 .

(21)(本题满分10分)三阶矩阵 , 为矩阵 的转置,已知 ,且二次型 。
1)求
2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。
【解析】:1)由 可得,
 
2)
 则矩阵
 
解得 矩阵的特征值为:
对于 得对应的特征向量为:
对于 得对应的特征向量为:
对于 得对应的特征向量为:
将 单位化可得:
 , ,
 

(22)(本题满分10分)
已知随机变量 以及 的分布律如下表所示,

X 0 1 2
P 1/2 1/3 1/6

Y 0 1 2
P 1/3 1/3 1/3

XY 0 1 2 4
P 7/12 1/3 0 1/12
求:(1) ;
(2) 与 .
【解析】:
X 0 1 2
P 1/2 1/3 1/6

Y 0 1 2
P 1/3 1/3 1/3

XY 0 1 2 4
P 7/12 1/3 0 1/12
(1)
(2)
 ,其中
 ,
所以, , , , .
(23)(本题满分10分)
设随机变量 和 相互独立,且均服从参数为 的指数分布, .
求(1)随机变量 的概率密度;
(2) .
【解析】:
(1) 概率密度为 分布函数为  和 同分布.
由 , ,
而 独立,故上式等于

(2)同理, 的概率密度为:
 , ,
所以 .

 
 
 
 
 
 
 
 
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