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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
  作者:   时间: 2012-1-9   来源:   点击:2714  

2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题解析
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)曲线 渐近线的条数为()
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
(2)设函数 ,其中 为正整数,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)如果 在 处连续,那么下列命题正确的是(    )
(A)若极限 存在,则 在 处可微
(B)若极限 存在,则 在 处可微
(C)若 在 处可微,则极限 存在
(D)若 在 处可微,则极限 存在
(4)设  sinxdx(k=1,2,3),则有D
(A)I1< I2 <I3.                                 (B) I2< I2< I3.
(C) I1< I3 <I1,                                               (D) I1< I2< I3.
(5)设 其中 为任意常数,则下列向量组线性相关的是(    )
(A)                       (B)
(C)                       (D)
(6)设 为3阶矩阵, 为3阶可逆矩阵,且 , , 则 (    )
(A)               (B)
(C)               (D)
(7)设随机变量x与y相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则 ()
(8)将长度为1m的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为()
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)若函数 满足方程 及 ,则 =________。
(10)  ________。
(11)  ________。
(12)设 则 ________。
(13)设X为三维单位向量,E为三阶单位矩阵,则矩阵 的秩为________。
(14)设 是随机事件, 互不相容, , ,则 ________。
三、解答题:15—23小题,共94.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
证明:
(16)(本题满分10分)
的极值。
(17)(本题满分10分)
求幂级数 x2n 的收敛域及和函数
(18)(本题满分10分)
已知曲线 ,其中函数 具有连续导数,且 , 。若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1,求函数 的表达式,并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。
(19)(本题满分10分)
已知 是第一象限中从点 沿圆周 到点 ,再沿圆周 到点 的曲线段,计算曲线积分 。
(20)(本题满分10分)
设 ,
(Ⅰ)求
(Ⅱ)已知线性方程组 有无穷多解,求 ,并求 的通解。
(21)(本题满分10分)三阶矩阵 , 为矩阵 的转置,已知 ,且二次型 。
1)求
2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。
(22)(本题满分10分)
已知随机变量 以及 的分布律如下表所示,
 

X
0
1
2
P
1/2
1/3
1/6

 

Y
0
1
2
P
1/3
1/3
1/3

 

XY
0
1
2
4
P
7/12
1/3
0
1/12

求:(1) ;
(2) 与 .
(23)(本题满分11分)
设随机变量 与 相互独立且分别服从正态分布 与 ,其中 是未知参数且 ,设 ,
(1)    求 的概率密度 ;
(2)    设 为来自总体 的简单随机样本,求 的最大似然估计量 ;
(3)    证明 为 的无偏估计量。
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
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